Exercice 21, § 7

Soit $H$ un sous-groupe d’indice fini d’un groupe $G$. Montrer que $H$ est de présentation finie si et seulement si il en est de même de $G$. (On peut supposer $G$ de type fini, cf. I, p. 125, exerc. 14. Ecrire $G$ sous la forme $G = F/R$, avec $F$ libre de type fini; l’image réciproque $F'$ de $H$ dans $F$ est libre de type fini, cf. exerc. 20, et l’on a $H = F'/R$. Si $R$ est engendré (comme sous-groupe distingué de $F$) par $(r_j)_{j \in J}$, montrer qu’il est engendré (comme sous-groupe distingué de $F'$) par les $yr_jy^{-1}$ pour $y \in Y, j \in J$, où $Y$ désigne un système de représentants dans $F$ des classes à droite modulo $F'$.)