Bài tập 21, § 7

Cho $H$ là một nhóm con có chỉ số hữu hạn của một nhóm $G$. Chứng minh rằng $H$ có trình bày hữu hạn khi và chỉ khi điều tương tự đúng với $G$. (Có thể giả sử $G$ có kiểu hữu hạn, xem I, p. 125, bài tập 14. Viết $G$ dưới dạng $G = F/R$, với $F$ là tự do có kiểu hữu hạn; ảnh ngược $F'$ của $H$ trong $F$ là tự do có kiểu hữu hạn, xem bài tập 20, và ta có $H = F'/R$. Nếu $R$ được sinh (như một nhóm con chuẩn của $F$) bởi $(r_j)_{j \in J}$, chứng minh rằng nó được sinh (như một nhóm con chuẩn của $F'$) bởi các $yr_jy^{-1}$ với $y \in Y, j \in J$, trong đó $Y$ là một hệ các đại diện trong $F$ của các lớp phải modulo $F'$.)