Exercice 27, § 7

Soit $G = *_{A}G_i$ la somme d’une famille $(G_i)_{i \in I}$ de groupes amalgamée par un sous-groupe commun $A$. Pour tout $i \in I$, on choisit une partie $P_i$ de $G_i$ vérifiant la condition(A) de I, p. 80. a) Soit $x \in G$ et soit $(a; i_1, \ldots, i_n; p_1, \ldots, p_n)$ une décomposition réduite de $x$; on a

Montrer que, si $i_1 \neq i_n$, l’ordre de $x$ est infini. Montrer que, si $i_1 = i_n$, $x$ est conjugué d’un élément possédant une décomposition de longueur $\leq n-1$. b) En déduire que tout élément d’ordre fini de $G$ est conjugué d’un élément de l’un des $G_i$. En particulier, si les $G_i$ n’ont pas d’élément d’ordre fini à part $e$, il en est de même de $G$.