Bài tập 27, § 7

Cho $G = *_{A}G_i$ là tổng của một họ $(G_i)_{i \in I}$ các nhóm được ghép với nhau bởi một nhóm con chung $A$. Với mọi $i \in I$, chọn một tập con $P_i$ của $G_i$ thỏa mãn điều kiện(A) của I, p. 80. (a) Cho $x \in G$ và $(a; i_1, \ldots, i_n; p_1, \ldots, p_n)$ là một phân tích rút gọn của $x$; ta có

Bây giờ chứng minh rằng, nếu $i_1 \neq i_n$, cấp của $x$ là vô hạn. Bây giờ chứng minh rằng, nếu $i_1 = i_n$, $x$ liên hợp với một phần tử có một phân tích có độ dài $\leq n-1$. (b) Suy ra rằng mọi phần tử có cấp hữu hạn của $G$ đều liên hợp với một phần tử của một trong các $G_i$. Đặc biệt, nếu các $G_i$ không có phần tử có cấp hữu hạn nào khác $e$, thì điều tương tự cũng đúng với $G$.