Exercice 30, § 7

Soient $A$ et $B$ deux groupes, et soit $G = A * B$ leur produit libre. a) Soit $Z$ un élément de $A \setminus G/A$ distinct de $A$. Montrer que $Z$ contient un élément $z$ et un seul de la forme

avec $n \geq 1$, $a_i \in A - \{e\}$, $b_i \in B - \{e\}$. Montrer que tout élément de $Z$ s’écrit de façon unique sous la forme $aza'$, avec $a, a'$ dans $A$. b) Soit $x \in G - A$. Soit $f_x$ l’homomorphisme de $A * A$ dans $G$ dont la restriction au premier (resp. second) facteur de $A * A$ est l’identité (resp. est l’application $a \mapsto xax^{-1}$). Montrer que $f_x$ est injectif. (Ecrire $x$ sous la forme $aza'$ comme ci-dessus et se ramener ainsi au cas $x = z$; utiliser l’unicité des décompositions réduites dans $G$.)

EXERCICES

En particulier, on a $A \cap xAx^{-1} = \{e\}$ et le normalisateur de $A$ dans $G$ est $A$.

c) Soit $T$ un élément de $A \setminus G/B$. Montrer que $T$ contient un élément $t$ et un seul de la forme

avec $n \geq 1$, $a_i \in A - \{e\}$, $b_i \in B - \{e\}$. Montrer que tout élément de $T$ s’écrit de façon unique sous la forme $atb$, avec $a \in A$, $b \in B$.

d) Soit $x \in G$ et soit $h_x$ l’unique endomorphisme de $G$ tel que $h_x(a) = a$ si $a \in A$ et $h_x(b) = xb x^{-1}$ si $b \in B$. Montrer que $h_x$ est injectif. (Même méthode que dans $b$), en utilisant la décomposition $x = atb$ de c.) En particulier, on a $A \cap xBx^{-1} = \{e\}$.

Donner un exemple où $h_x$ n’est pas surjectif.