Bài tập 30, § 7

Cho $A$ và $B$ là hai nhóm, và cho $G = A * B$ là tích tự do của chúng. a) Cho $Z$ là một phần tử của $A \setminus G/A$ phân biệt với $A$. Bây giờ chứng minh rằng $Z$ chứa một và chỉ một phần tử $z$ có dạng

với $n \geq 1$, $a_i \in A - \{e\}$, $b_i \in B - \{e\}$. Bây giờ chứng minh rằng mọi phần tử của $Z$ được viết duy nhất dưới dạng $aza'$, với $a, a'$ thuộc $A$. b) Cho $x \in G - A$. Cho $f_x$ là đồng cấu từ $A * A$ vào $G$ mà hạn chế của nó lên nhân tử thứ nhất (tương ứng thứ hai) của $A * A$ là đồng nhất (tương ứng là ánh xạ $a \mapsto xax^{-1}$). Bây giờ chứng minh rằng $f_x$ là đơn ánh. (Viết $x$ dưới dạng $aza'$ như trên và rút gọn về trường hợp $x = z$; sử dụng tính duy nhất của các phân tích rút gọn trong $G$.)

BÀI TẬP

Đặc biệt, ta có $A \cap xAx^{-1} = \{e\}$ và chuẩn hóa tử của $A$ trong $G$ là $A$.

c) Cho $T$ là một phần tử của $A \setminus G/B$. Bây giờ chứng minh rằng $T$ chứa một và chỉ một phần tử $t$ có dạng

với $n \geq 1$, $a_i \in A - \{e\}$, $b_i \in B - \{e\}$. Bây giờ chứng minh rằng mọi phần tử của $T$ được viết duy nhất dưới dạng $atb$, với $a \in A$, $b \in B$.

d) Cho $x \in G$ và cho $h_x$ là tự đồng cấu duy nhất của $G$ sao cho $h_x(a) = a$ nếu $a \in A$ và $h_x(b) = xb x^{-1}$ nếu $b \in B$. Bây giờ chứng minh rằng $h_x$ là đơn ánh. (Cùng phương pháp như trong b), sử dụng phân tích $x = atb$ của c).) Đặc biệt, ta có $A \cap xBx^{-1} = \{e\}$.

Cho một ví dụ trong đó $h_x$ không là toàn ánh.