Exercice 31, § 7

Soit $G$ le produit libre d’une famille $(G_i)_{i \in I}$ de groupes. Soit $S$ l’ensemble des sous-groupes de $G$ qui sont conjugués de l’un des $G_i$, et soit $\Theta$ la réunion des éléments de $S$. a) Soient $H, H'$ dans $S$, tels que $H \neq H'$, et soient $x \in H - \{e\}$, $x' \in H' - \{e\}$. Montrer que $xx' \in G - \Theta$. (Se ramener au cas où $H$ est l’un des $G_i$; écrire $H'$ sous la forme $yG_jy^{-1}$ et procéder comme dans l’exercice précédent.) b) Soit $C$ un sous-groupe de $G$ contenu dans $\Theta$. Montrer qu’il existe $H \in S$ tel que $C \subset H$. c) Soit $C$ un sous-groupe de $G$ dont tous les éléments soient d’ordre fini. Montrer que $C$ est contenu dans $\Theta$ (cf. I, p. 148, exerc. 27); en déduire que $C$ est contenu dans un conjugué d’un $G_i$.