Bài tập 31, § 7

Cho $G$ là tích tự do của một họ $(G_i)_{i \in I}$ các nhóm. Cho $S$ là tập hợp các nhóm con của $G$ liên hợp với một trong các $G_i$, và cho $\Theta$ là hợp của các phần tử của $S$. (a) Cho $H, H'$ thuộc $S$, sao cho $H \neq H'$, và cho $x \in H - \{e\}$, $x' \in H' - \{e\}$. Bây giờ chứng minh rằng $xx' \in G - \Theta$. (Rút gọn về trường hợp $H$ là một trong các $G_i$; viết $H'$ dưới dạng $yG_jy^{-1}$ và tiến hành như trong bài tập trước.) (b) Cho $C$ là một nhóm con của $G$ được chứa trong $\Theta$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại $H \in S$ sao cho $C \subset H$. (c) Cho $C$ là một nhóm con của $G$ mà mọi phần tử của nó đều có cấp hữu hạn. Bây giờ chứng minh rằng $C$ được chứa trong $\Theta$ (cf. I, p. 148, exerc. 27); suy ra rằng $C$ được chứa trong một nhóm con liên hợp của một $G_i$.