Exercice 34, § 7

a) Soit $(H_i)$ une famille filtrante décroissante de sous-groupes distingués d’un groupe

G. On suppose que $\bigcap_i H_i = \{e\}$. Montrer que, pour tout groupe $G'$, l’intersection des noyaux des homomorphismes canoniques $G' * G \to G' * (G/H_i)$ est égale à $\{e\}$. b) Soit $G$ le produit libre d’une famille $(G_\alpha)$ de groupes. Montrer que, si tous les $G_\alpha$ sont résiduellement finis (cf. I, p. 129, exerc. 5), il en est de même de $G$. (On se ramènera d’abord au cas où la famille est finie, puis au cas où elle a deux éléments; grâce à a), on pourra supposer que les $G_\alpha$ sont finis, et on appliquera l’exercice précédent.) c) En déduire que tout groupe libre est résiduellement fini.