Bài tập 34, § 7

(a) Cho $(H_i)$ là một họ lọc giảm dần các nhóm con chuẩn tắc của một nhóm

G. Giả sử rằng $\bigcap_i H_i = \{e\}$. Bây giờ chứng minh rằng, với mọi nhóm $G'$, giao của các hạt nhân của các đồng cấu chính tắc $G' * G \to G' * (G/H_i)$ bằng $\{e\}$. (b) Cho $G$ là tích tự do của một họ $(G_\alpha)$ các nhóm. Bây giờ chứng minh rằng, nếu mọi $G_\alpha$ đều hữu hạn dư (xem I, p. 129, bài tập 5), thì điều tương tự cũng đúng đối với $G$. (Trước hết rút gọn về trường hợp họ là hữu hạn, rồi về trường hợp nó có hai phần tử; nhờ a), ta có thể giả sử rằng các $G_\alpha$ là hữu hạn, và áp dụng bài tập trước đó.) (c) Suy ra rằng mọi nhóm tự do đều hữu hạn dư.