Exercice 36, § 7

Soient $(G_1, \ldots, G_n)$ et $(A_1, \ldots, A_{n-1})$ deux suites de groupes; pour chaque $i$, soient $\varphi_i : A_i \to G_i$ et $\psi_i : A_i \to G_{i+1}$ deux homomorphismes injectifs; on identifie $A_i$, grâce à ces homomorphismes, à la fois à un sous-groupe de $G_i$ et à un sous-groupe de $G_{i+1}$. a) Soient $H_1 = G_1, H_2 = H_1 *_{A_1} G_2, \ldots, H_n = H_{n-1} *_{A_{n-1}} G_n$. Le groupe $H_n$ est appelé la somme des groupes $(G_i)$ amalgamée par les sous-groupes $(A_i)$; on le note

Si $T$ est un groupe quelconque, définir une correspondance biunivoque entre les homomorphismes de $H_n$ dans $T$ et les familles $(t_1, \ldots, t_n)$ d’homomorphismes $t_i : G_i \to T$ telles que $t_i \circ \varphi_i = t_{i+1} \circ \psi_i$ pour $1 \leq i \leq n-1$. b) On identifie chaque $G_i$ au sous-groupe correspondant de $H_n$. Montrer que $G_i \cap G_{i+1} = A_i$ et que $G_i \cap G_{i+2} = A_i \cap A_{i+1}$ (cette dernière intersection étant prise dans $G_{i+1}$).