Bài tập 36, § 7

Cho $(G_1, \ldots, G_n)$ và $(A_1, \ldots, A_{n-1})$ là hai dãy các nhóm; với mỗi $i$, cho $\varphi_i : A_i \to G_i$ và $\psi_i : A_i \to G_{i+1}$ là hai đồng cấu đơn ánh; bằng các đồng cấu này, ta đồng nhất $A_i$ vừa với một nhóm con của $G_i$ vừa với một nhóm con của $G_{i+1}$. a) Cho $H_1 = G_1, H_2 = H_1 *_{A_1} G_2, \ldots, H_n = H_{n-1} *_{A_{n-1}} G_n$. Nhóm $H_n$ được gọi là tổng của các nhóm $(G_i)$ ghép bởi các nhóm con $(A_i)$; nó được ký hiệu là

Nếu $T$ là một nhóm bất kỳ, hãy định nghĩa một sự tương ứng một-một giữa các đồng cấu từ $H_n$ vào $T$ và các họ $(t_1, \ldots, t_n)$ gồm các đồng cấu $t_i : G_i \to T$ sao cho $t_i \circ \varphi_i = t_{i+1} \circ \psi_i$ với $1 \leq i \leq n-1$. b) Ta đồng nhất mỗi $G_i$ với nhóm con tương ứng của $H_n$. Bây giờ chứng minh rằng $G_i \cap G_{i+1} = A_i$ và rằng $G_i \cap G_{i+2} = A_i \cap A_{i+1}$ (giao sau được lấy trong $G_{i+1}$).