Exercice 39, § 7

\* Soit G un groupe de type fini, et soit $\mathscr{F}$ l’ensemble des parties finies symétriques de G, contenant e, qui engendrent G. a) Si $X \in \mathscr{F}$ et $n \in \mathbf{N}$, on note $d_n(X)$ le nombre des éléments de G de la forme $x_1 \ldots x_n$, avec $x_i \in X$. Si $X \in \mathscr{F}$, $Y \in \mathscr{F}$, montrer qu’il existe un entier $a \geqslant 1$ tel que

En déduire que $\limsup_{n \to \infty} \frac{\log(d_n(X))}{\log(n)}$ ne dépend pas du choix de X dans $\mathscr{F}$; cette limite (finie ou infinie) est notée $e(G)$. b) Si $X \in \mathscr{F}$ et si G est infini, montrer que $d_n(X) < d_{n+1}(X)$ pour tout n. En déduire que $e(G)$ est $\geqslant 1$. c) Soit H un groupe de type fini. Montrer que $e(H) \leqslant e(G)$ si H est isomorphe à un sous-groupe (resp. à un groupe quotient) de G. Si E est une extension de G par H, montrer que $e(E) \geqslant e(H) + e(G)$, avec égalité lorsque $E = G \times H$. d) Montrer que $e(\mathbf{Z}^n) = n$. e) Soit $X \in \mathscr{F}$. Considérons la propriété suivante: (i) Il existe un nombre réel $a > 1$ tel que $d_n(X) \geqslant a^n$ pour tout n assez grand. Montrer que, si la propriété (i) est vérifiée par un élément de $\mathscr{F}$, elle l’est par tout élément de $\mathscr{F}$. On dit alors que G est de type exponentiel; cela entraîne $e(G) = +\infty$. f) Soient $G_1$ et $G_2$ deux groupes, contenant un même sous-groupe A, et soit $H = G_1 *_A G_2$ la somme amalgamée correspondante. On suppose $G_1$ et $G_2$ de type fini (donc aussi H), et $G_i \neq A$ pour $i = 1, 2$. Montrer que H est de type exponentiel si l’un au moins des indices $(G_1 : A)$, $(G_2 : A)$ est $\geqslant 3$. g) Montrer qu’un groupe libre de rang $\geqslant 2$ est de type exponentiel.*