Bài tập 39, § 7

\* Cho G là một nhóm sinh hữu hạn, và cho $\mathscr{F}$ là tập hợp các tập con hữu hạn đối xứng của G, chứa e, sinh ra G. (a) Nếu $X \in \mathscr{F}$ và $n \in \mathbf{N}$, ký hiệu $d_n(X)$ là số các phần tử của G có dạng $x_1 \ldots x_n$, với $x_i \in X$. Nếu $X \in \mathscr{F}$, $Y \in \mathscr{F}$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $a \geqslant 1$ sao cho

Suy ra rằng $\limsup_{n \to \infty} \frac{\log(d_n(X))}{\log(n)}$ không phụ thuộc vào lựa chọn X trong $\mathscr{F}$; giới hạn này (hữu hạn hoặc vô hạn) được ký hiệu bởi $e(G)$. (b) Nếu $X \in \mathscr{F}$ và nếu G là vô hạn, bây giờ chứng minh rằng $d_n(X) < d_{n+1}(X)$ với mọi n. Suy ra rằng $e(G)$ là $\geqslant 1$. (c) Cho H là một nhóm sinh hữu hạn. Bây giờ chứng minh rằng $e(H) \leqslant e(G)$ nếu H đẳng cấu với một nhóm con (tương ứng với một nhóm thương) của G. Nếu E là một mở rộng của G bởi H, bây giờ chứng minh rằng $e(E) \geqslant e(H) + e(G)$, với đẳng thức khi $E = G \times H$. (d) Bây giờ chứng minh rằng $e(\mathbf{Z}^n) = n$. (e) Cho $X \in \mathscr{F}$. Xét tính chất sau: (i) Tồn tại một số thực $a > 1$ sao cho $d_n(X) \geqslant a^n$ với mọi n đủ lớn. Bây giờ chứng minh rằng, nếu tính chất (i) được thỏa mãn bởi một phần tử của $\mathscr{F}$, thì nó được thỏa mãn bởi mọi phần tử của $\mathscr{F}$. Khi đó G được gọi là có kiểu mũ; điều này kéo theo $e(G) = +\infty$. (f) Cho $G_1$ và $G_2$ là hai nhóm, chứa cùng một nhóm con A, và cho $H = G_1 *_A G_2$ là tổng dính tương ứng. Giả sử rằng $G_1$ và $G_2$ sinh hữu hạn (và do đó H cũng vậy), và rằng $G_i \neq A$ với $i = 1, 2$. Bây giờ chứng minh rằng H có kiểu mũ nếu ít nhất một trong các chỉ số $(G_1 : A)$, $(G_2 : A)$ là $\geqslant 3$. (g) Bây giờ chứng minh rằng một nhóm tự do có hạng $\geqslant 2$ có kiểu mũ.*