Exercice 5, § 7

Algèbre, I, p. 143

Soit $X$ un ensemble à un élément. Si $n$ est un entier $\geq 1$ , on note $u_n$ le nombre d’éléments de $M(X)$ de longueur $n$ . a) Pour tout ensemble $Y$ , montrer que l’on a

\operatorname{Card}(M_n(Y)) = u_n \cdot \operatorname{Card}(Y)^n.

(Utiliser l’exerc. 3.) b) Etablir la relation

u_n = \sum_{p=1}^{n-1} u_p u_{n-p} \quad \text{pour} \quad n \geq 2.

c) \* Soit $f(T)$ la série formelle $\sum_{n=1}^{\infty} u_n T^n$ . Montrer que l’on a $f(T) = T + f(T)^2$ . En déduire les formules

f(T) = \frac{1}{2}(1 - (1 - 4T)^{1/2}), \qquad u_n = \frac{2^{n-1}}{n!} 1.3.5...(2n-3) \quad \text{pour } n \geq 2.*

Retrouver ce dernier résultat en utilisant l’exerc. 11 de E, III, p. 85.

Solution

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