Bài tập 5, § 7

Đại số, I, p. 143

Cho $X$ là một tập hợp có một phần tử. Nếu $n$ là một số nguyên $\geq 1$ , ký hiệu $u_n$ là số các phần tử của $M(X)$ có độ dài $n$ . a) Với mọi tập hợp $Y$ , bây giờ chứng minh rằng ta có

\operatorname{Card}(M_n(Y)) = u_n \cdot \operatorname{Card}(Y)^n.

(Sử dụng Bài tập 3.) b) Thiết lập quan hệ

u_n = \sum_{p=1}^{n-1} u_p u_{n-p} \quad \text{cho } \quad n \geq 2.

c) \* Cho $f(T)$ là chuỗi hình thức $\sum_{n=1}^{\infty} u_n T^n$ . Bây giờ chứng minh rằng ta có $f(T) = T + f(T)^2$ . Suy ra các công thức

f(T) = \frac{1}{2}(1 - (1 - 4T)^{1/2}), \qquad u_n = \frac{2^{n-1}}{n!} 1.3.5...(2n-3) \quad \text{cho } n \geq 2.*

Tìm lại kết quả cuối cùng này bằng cách sử dụng Bài tập 11 của E, III, p. 85.

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.