Exercice 6, § 7

Soit X un ensemble. a) Soit N un sous-magma de M(X), et soit Y = N − (N.N). L’injection Y → N se prolonge en un homomorphisme $u : M(Y) \to N$. Montrer que $u$ est un isomorphisme. (En d’autres termes, tout sous-magma d’un magma libre est libre.) b) Si $x \in M(X)$, on note $M_x$ le sous-magma de M(X) engendré par x ; d’après a), $M_x$ s’identifie au magma libre construit sur x. Montrer que, si $x \in M(X), y \in M(X)$, on a, soit $M_x \subset M_y$, soit $M_y \subset M_x$, soit $M_x \cap M_y = \varnothing$. (Si $M_x \cap M_y \neq \varnothing$, soit z un élément de $M_x \cap M_y$ de longueur minimum ; on montrera que l’on a, soit $z = x$, soit $z = y$.)