Bài tập 6, § 7

Cho $X$ là một tập hợp. (a) Cho $N$ là một magma con của $M(X)$, và cho $Y = N - (N.N)$. Đơn ánh $Y \to N$ mở rộng thành một đồng cấu $u : M(Y) \to N$. Chứng minh rằng $u$ là một đẳng cấu. (Nói cách khác, mọi magma con của một magma tự do đều tự do.) (b) Nếu $x \in M(X)$, ta ký hiệu $M_x$ là magma con của M(X) sinh bởi x; sau (a), $M_x$ được đồng nhất với magma tự do được xây dựng trên x. Chứng minh rằng, nếu $x \in M(X), y \in M(X)$, ta có hoặc là $M_x \subset M_y$, hoặc là $M_y \subset M_x$, hoặc là $M_x \cap M_y = \varnothing$. (Nếu $M_x \cap M_y \neq \varnothing$, cho z là một phần tử của $M_x \cap M_y$ có độ dài nhỏ nhất; ta sẽ chứng minh rằng ta có hoặc là $z = x$, hoặc là $z = y$.)