Exercice 11, § 8

Dans un anneau A, on dit qu’un idéal bilatère $a$ est irréductible s’il n’existe pas de couple d’idéaux bilatères $b, c$, distincts de $a$ et tels que $a = b \cap c$. a) Montrer que l’intersection de tous les idéaux irréductibles de A se réduit à 0 (remarquer que l’ensemble des idéaux bilatères ne contenant pas un élément $a \neq 0$ est inductif, et appliquer le th. de Zorn). b) En déduire que tout idéal bilatère $a$ de A est l’intersection de tous les idéaux irréductibles qui le contiennent.