Exercice 12, § 8

Soient A un anneau et $(a_i)_{i \in I}$ une famille finie d’idéaux à gauche de A telle que le groupe additif de A soit somme directe des sous-groupes additifs $a_i$. Si $1 = \sum_{i \in I} e_i$ (où $e_i \in a_i$), on a $e_i^2 = e_i$, $e_i e_j = 0$ si $i \neq j$, et $a_i = Ae_i$ (écrire que $x = x.1$ pour tout $x \in A$). Réciproquement, si $(e_i)_{i \in I}$ est une famille finie d’idempotents de A tels que $e_i e_j = 0$ pour $i \neq j$ et $1 = \sum_i e_i$, alors A est somme directe des idéaux à gauche $Ae_i$. Pour que les idéaux $Ae_i$ soient bilatères, il faut et il suffit que les $e_i$ soient dans le centre de A.