Exercice 2, § 8

Soit A un anneau. a) L’application qui, à $a \in A$, associe l’homothétie à gauche $x \mapsto ax$, est un isomorphisme de A sur l’anneau des endomorphismes du groupe additif de A qui commutent aux homothéties à droite. b) Soit M l’ensemble des suites $(a, b, c, d)$ de quatre éléments de A que l’on représente sous forme d’un tableau ou matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. A tout élément $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ de M, associons l’application $(x, y) \mapsto (ax + by, cx + dy)$ de $A \times A$ dans lui-même. Montrer que l’on obtient aussi une bijection de M sur l’anneau B des endomorphismes du groupe commutatif $A \times A$ qui commutent aux opérations $(x, y) \mapsto (xr, yr)$ pour tout r dans A. On identifie, désormais, M à l’anneau B. Calculer le produit de deux matrices. c) Montrer que le sous-ensemble T de M formé des matrices de la forme $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$ est le sous-anneau de M qui laisse stable le sous-groupe $A \times 0$ de $A \times A$. Les applications $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mapsto a, \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mapsto c$ sont des homomorphismes de T dans A; soient a, b leurs noyaux. Montrer que $a + b = T$, que $ab = \{0\}$ et que $ba = b \cap a$ est $\neq \{0\}$ si $A \neq \{0\}$ (cf. I, p. 102, prop. 6).

d) Si $A = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$, T n’est pas commutatif, mais le groupe multiplicatif des éléments inversibles de T est commutatif.