Bài tập 2, § 8

Cho $A$ là một vành. (a) Ánh xạ gán cho $a \in A$ phép vị tự trái $x \mapsto ax$ là một đẳng cấu của $A$ lên vành các nội cấu của nhóm cộng của $A$ giao hoán với các phép vị tự phải. (b) Gọi $M$ là tập hợp các dãy $(a, b, c, d)$ gồm bốn phần tử của $A$ có thể được biểu diễn dưới dạng một bảng hay ma trận $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Với mỗi phần tử (a\ b\\c\ d) của M ta gắn ánh xạ $(x, y) \mapsto (ax + by, cx + dy)$ của $A \times A$ vào chính nó. Hãy chỉ ra rằng như vậy thu được một song ánh của M lên vành B các nội cấu của nhóm giao hoán $A \times A$ giao hoán với các phép toán $(x, y) \mapsto (xr, yr)$ với mọi $r \in A$. Từ đây về sau M được đồng nhất với vành B. Hãy tính tích của hai ma trận.

(c) Hãy chỉ ra rằng tập con T của M gồm các ma trận có dạng $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$ là vành con của M ổn định nhóm con $A \times 0$ của $A \times A$.

Các ánh xạ $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mapsto a$ và $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mapsto c$ là các đồng cấu của T vào A; gọi $a$ và $b$ là các hạt nhân của chúng. Hãy chỉ ra rằng $a + b = T$, rằng $ab = \{0\}$ và rằng $ba = b \cap a$ là $\neq \{0\}$ nếu $A \neq \{0\}$ (xem no. 9, Mệnh đề 6).

(d) Nếu $A = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$, T không giao hoán, nhưng nhóm nhân các phần tử khả nghịch của T là giao hoán.