Exercice 5, § 8

Soient M un monoïde, $\mathbf{Z}^{(M)}$ le groupe commutatif libre de base M, $u : M \to \mathbf{Z}^{(M)}$ l’application canonique. a) Montrer qu’il existe une unique multiplication sur $\mathbf{Z}^{(M)}$ telle que $\mathbf{Z}^{(M)}$ soit un anneau et telle que $u$ soit un morphisme du monoïde M dans le monoïde multiplicatif de l’anneau $\mathbf{Z}^{(M)}$. b) Soient A un anneau et $v : M \to A$ un morphisme du monoïde M dans le monoïde multiplicatif de A. Il existe un unique morphisme d’anneau $f : \mathbf{Z}^{(M)} \to A$, tel que