Bài tập 5, § 8

Cho M là một monoid, $\mathbf{Z}^{(M)}$ là nhóm giao hoán tự do với cơ sở M và $u : M \to \mathbf{Z}^{(M)}$ là ánh xạ chính tắc.

(a) Chứng minh rằng tồn tại một phép nhân duy nhất trên $\mathbf{Z}^{(M)}$ sao cho $\mathbf{Z}^{(M)}$ là một vành và sao cho $u$ là một cấu xạ monoid từ monoid M vào monoid nhân của vành $\mathbf{Z}^{(M)}$.

(b) Cho A là một vành và $v : M \to A$ là một cấu xạ monoid từ monoid M vào monoid nhân của A. Chứng minh rằng tồn tại một cấu xạ vành duy nhất $f : \mathbf{Z}^{(M)} \to A$ sao cho