Exercice 5, § 9

Soit K un corps commutatif de caractéristique $\neq 2$; soit G un sous-groupe du groupe additif de K, tel que, si H désigne l’ensemble formé de 0 et des inverses des éléments $\neq 0$ de G, H soit aussi un sous-groupe du groupe additif de K. Montrer qu’il existe un élément $a \in K$ et un sous-corps K’ de K tels que $G = aK'$ (établir d’abord que, si $x$ et $y$ sont des éléments de G tels que $y \neq 0$, on a $\frac{x^2}{y} \in G$; en déduire que, si $x, y, z$ sont des éléments de G tels que $z \neq 0$, on a $\frac{xy}{z} \in G$).