Exercice 6, § 9

Soit K un corps commutatif de caractéristique $\neq 2$; soit $f$ une application de K dans K, telle que $f(x + y) = f(x) + f(y)$ quels que soient $x$ et $y$, et que, pour tout $x \neq 0$, on ait $f(x) f \left( \frac{1}{x} \right) = 1$. Montrer que $f$ est un isomorphisme de K sur un sous-corps de K (prouver que $f(x^2) = (f(x))^2$).