Exercice 7, § 9

Soit A un anneau commutatif. a) Tout idéal premier est irréductible (I, p. 152, exerc. 11). b) L’ensemble des idéaux premiers est inductif pour les relations $\subset$ et $\supset$. c) Soit $a$ un idéal de A, distinct de A; soit b l’ensemble des $x \in A$, tels qu’il existe un entier $n \geqslant 0$ pour lequel $x^n \in a$ ($n$ dépendant de $x$). Montrer que b est un idéal et est égal à l’intersection des idéaux premiers de A contenant a.