Exercice 8, § 9

Un anneau A est appelé anneau booléien si chacun de ses éléments est idempotent (autrement dit, si $x^2 = x$ pour tout $x \in A$). a) Dans l’ensemble $\mathfrak{P}(E)$ des parties d’un ensemble E, montrer qu’on définit une structure d’anneau booléien en posant $AB = A \cap B$ et $A + B = (A \cap \complement B) \cup (B \cap \complement A)$. Cet anneau est isomorphe à l’anneau $K^E$ des applications de E dans l’anneau $K = \mathbf{Z}/(2)$ des entiers modulo 2 (considérer, pour chaque partie $X \subset E$, sa « fonction caractéristique » $\varphi_X$, telle que $\varphi_X(x) = 1$ si $x \in X$, $\varphi_X(x) = 0$ si $x \notin X$). b) Tout anneau booléien A est commutatif et tel que $x + x = 0$ pour $x \in A$ (écrire que $x + x$ est idempotent, puis que $x + y$ est idempotent). c) Si un anneau booléien A ne contient pas de diviseur de 0, il est réduit à 0 ou est isomorphe à $\mathbf{Z}/(2)$ (si $x$ et $y$ sont deux éléments quelconques de A, montrer que $xy(x + y) = 0$). En déduire que, dans un anneau booléien, tout idéal premier est maximal. d) Dans un anneau booléien A, tout idéal $a \neq A$ est l’intersection des idéaux premiers contenant a (appliquer l’exerc. 7 c)). En déduire que tout idéal irréductible est maximal (autrement dit, que les notions d’idéal irréductible, d’idéal premier et d’idéal maximal coïncident dans un anneau booléien). e) Montrer que tout anneau booléien est isomorphe à un sous-anneau d’un anneau produit $K^E$, où $K = \mathbf{Z}/(2)$ (utiliser d)). f) Si $p_i$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) sont n idéaux maximaux distincts dans un anneau booléien A, et $a = \bigcap_{1 \leqslant i \leqslant n} p_i$, montrer que l’anneau quotient $A/a$ est isomorphe à l’anneau produit $K^n$. En déduire que tout anneau booléien fini est de la forme $K^n$. g) Dans un anneau booléien A, la relation $xy = x$ est une relation d’ordre; si on la note $x \leqslant y$, montrer que, pour cette relation, A est un ensemble réticulé distributif (E, III, p. 72, exerc. 16), possède un plus petit élément $\alpha$, et que pour tout couple $(x, y)$ d’éléments tels que $x \leqslant y$, il existe un élément $d(x, y)$ tel que $\inf(x, d(x, y)) = \alpha$, $\sup(x, d(x, y)) = y$. Réciproquement, si un ensemble ordonné A possède ces trois propriétés, montrer que les lois de composition $xy = \inf(x, y)$ et $x + y = d(\sup(x, y), \inf(x, y))$ définissent sur A une structure d’anneau booléien.

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