Bài tập 8, § 9

Một vành A được gọi là một vành Boolean nếu mỗi phần tử của nó là lũy đẳng (nói cách khác, nếu $x^2 = x$ với mọi $x \in A$). (a) Trong tập hợp $\mathscr{P}(E)$ các tập con của một tập hợp E, hãy chứng minh rằng một cấu trúc vành Boolean được định nghĩa bằng cách đặt $AB = A \cap B$ và $A + B = (A \cap \complement B) \cup (B \cap \complement A)$. Vành này đẳng cấu với vành $K^E$ các ánh xạ từ E vào vành $K = \mathbf{Z}/(2)$ các số nguyên modulo 2 (xét với mỗi tập con $X \subset E$ "hàm đặc trưng" $\phi_X$ của nó sao cho $\phi_X(x) = 1$ nếu $x \in X$, $\phi_X(x) = 0$ nếu $x \notin X$). (b) Mọi vành Boolean A đều giao hoán và thỏa mãn $x + x = 0$ với $x \in A$ (hãy viết $x + x$ như một phần tử lũy đẳng rồi viết $x + y$ như một phần tử lũy đẳng). (c) Nếu một vành Boolean A không chứa ước của 0, thì nó thu về 0 hoặc đẳng cấu với $\mathbf{Z}/(2)$ (nếu $x$ và $y$ là hai phần tử bất kỳ của A, hãy chứng minh rằng $xy(x + y) = 0$). Hãy suy ra rằng trong một vành Boolean mọi iđêan nguyên tố đều cực đại. (d) Trong một vành Boolean A, mọi iđêan $a \neq A$ là giao của các iđêan nguyên tố chứa a (áp dụng Bài tập 7(c)). Hãy suy ra rằng mọi iđêan bất khả quy đều cực đại (nói cách khác, rằng các khái niệm iđêan bất khả quy, iđêan nguyên tố và iđêan cực đại trùng nhau trong một vành Boolean).

(e) Hãy chứng minh rằng mọi vành Boolean đều đẳng cấu với một vành con của một vành tích $K^E$, trong đó $K = \mathbf{Z}/(2)$ (dùng (d)).

(f) Nếu $p_i$ ($1 \leq i \leq n$) là $n$ iđêan cực đại phân biệt trong một vành Boolean $A$ và $a = \bigcap_{1 \leq i \leq n} p_i$, hãy chứng minh rằng vành thương $A/a$ đẳng cấu với vành tích $K^n$. Hãy suy ra rằng mọi vành Boolean hữu hạn đều có dạng $K^n$.

(g) Trong một vành Boolean $A$, quan hệ $xy = x$ là một quan hệ thứ tự; nếu nó được ký hiệu bởi $x \leq y$, hãy chứng minh rằng với quan hệ này $A$ là một dàn phân phối (lý thuyết tập hợp, III, § 1, Bài tập 16), có một phần tử bé nhất $\alpha$ và rằng, với mọi cặp có thứ tự $(x, y)$ các phần tử sao cho $x \leq y$, tồn tại một phần tử $d(x, y)$ sao cho $\inf(x, d(x, y)) = \alpha$, $\sup(x, d(x, y)) = y$. Ngược lại, nếu một tập hợp có thứ tự $A$ có ba tính chất ấy, hãy chứng minh rằng các luật hợp thành $xy = \inf(x, y)$ và $x + y = d(\sup(x, y), \inf(x, y))$ định nghĩa một cấu trúc vành Boolean trên $A$.