Exercice 9, § 9

Soit A un anneau tel que $x^3 = x$ pour tout $x \in A$. On se propose de montrer que A est commutatif. a) Montrer qu’on a $6A = \{0\}$, et que $2A$ et $3A$ sont des idéaux bilatères tels que $2A + 3A = A$ et $2A \cap 3A = \{0\}$. En déduire que l’on peut supposer soit $2A = \{0\}$, soit $3A = \{0\}$. b) Si $2A = \{0\}$, calculer $(1 + x)^3$, en déduire que $x^2 = x$ pour tout $x \in A$, et conclure au moyen de l’exerc. 8. c) Si $3A = \{0\}$, calculer $(x + y)^3$ et $(x - y)^3$, montrer que $x^2y + xyx + yx^2 = 0$, et multiplier à gauche par $x$; en déduire que $xy - yx = 0$. d) Soit A un anneau tel que $3A = \{0\}$ et que $x^3 = x$ pour tout $x \in A$; définir un ensemble I et un homomorphisme injectif de A dans $(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z})^I$ (même méthode que dans l’exerc. 8).