Bài tập 9, § 9

Cho $A$ là một vành sao cho $x^3 = x$ với mọi $x \in A$. Người ta đề nghị chứng minh rằng $A$ là giao hoán.

(a) Chứng minh rằng $6A = \{0\}$ và rằng $2A$ và $3A$ là hai iđêan hai phía sao cho $2A + 3A = A$ và $2A \cap 3A = \{0\}$. Suy ra rằng có thể giả sử hoặc $2A = \{0\}$ hoặc $3A = \{0\}$.

(b) Nếu $2A = \{0\}$, tính $(1 + x)^3$, suy ra rằng $x^2 = x$ với mọi $x \in A$ và kết luận bằng Bài tập 8.

(c) Nếu $3A = \{0\}$, tính $(x + y)^3$ và $(x - y)^3$, chứng minh rằng $x^2y + xyx + yx^2 = 0$ và nhân bên trái với $x$; suy ra rằng $xy - yx = 0$.

(d) Cho $A$ là một vành sao cho $3A = \{0\}$ và $x^3 = x$ với mọi $x \in A$; định nghĩa một tập hợp $I$ và một đồng cấu đơn ánh từ $A$ vào $(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z})^I$ (cùng phương pháp như trong Bài tập 8).