Exercice 1, § 11

Soit $\Delta$ un monoïde commutatif, noté additivement, dont l’élément neutre est noté 0. Soit $\mathbf{Z}^{(\Delta)}$ l’algèbre de $\Delta$ sur $\mathbf{Z}$ (III, p. 19), c’est-à-dire un anneau commutatif, qui est un $\mathbf{Z}$-module libre ayant une base $(X^\sigma)_{\sigma \in \Delta}$, avec la multiplication $(aX^\sigma)(bX^\tau) = abX^{\sigma+\tau}$. Pour tout $\mathbf{Z}$-module E, on pose $E^{(\Delta)} = E \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}^{(\Delta)}$, tout élément de $E^{(\Delta)}$ s’écrivant donc d’une seule manière sous la forme $\sum_{\sigma \in \Delta} z_\sigma \otimes X^\sigma$, avec $z_\sigma \in E$, la famille $(z_\sigma)$ ayant un support fini. Pour tout homomorphisme $f : E \to E'$ de $\mathbf{Z}$-modules, on note $f^{(\Delta)}$ l’homomorphisme $f \otimes 1 : E^{(\Delta)} \to {E'}^{(\Delta)}$ de $\mathbf{Z}^{(\Delta)}$-modules. De même, si $\Delta'$ est un second monoïde additif dont l’élément neutre est noté 0, et si $\alpha : \Delta \to \Delta'$ est un homomorphisme de monoïdes, on note $\alpha(E)$ l’homomorphisme $E^{(\Delta)} \to E^{(\Delta')}$ tel que $\alpha(E)(z_\sigma \otimes X^\sigma) = z_\sigma \otimes X^{\alpha(\sigma)}$. On identifie $(E^{(\Delta)})^{(\Delta')}$ à $E^{(\Delta \times \Delta')}$ en faisant correspondre à $\sum_{\sigma', \sigma''} (\sum_{\sigma \in \Delta} z_{\sigma, \sigma'} \otimes X^\sigma) \otimes X^{\sigma'}$ l’élément $\sum_{\sigma', \sigma''} z_{\sigma, \sigma'} \otimes X^{(\sigma, \sigma')}$. Enfin, on note $\varepsilon(E)$ l’homomorphisme $E^{(\Delta)} \to E$ transformant $\sum_\sigma z_\sigma \otimes X^\sigma$ en $\sum_\sigma z_\sigma$.

a) Soient $E$ un $\mathbf{Z}$-module, $(E_\sigma)_{\sigma \in \Delta}$ une graduation sur $E$ de type $\Delta$ et pour tout $\sigma \in \Delta$, soit $p_\sigma$ le projecteur $E \to E_\sigma$ correspondant à la décomposition de $E$ en somme directe des $E_\sigma$. Pour tout $x \in E$, soit $\varphi_E(x) = \sum_{\sigma \in \Delta} p_\sigma(x) \otimes X^\sigma$. Montrer que l’homomorphisme $\varphi_E : E \to E^{(\Delta)}$ ainsi défini possède les propriétés suivantes: (1) $\varepsilon(E) \circ \varphi_E = 1_E$ (2) $\delta(E) \circ \varphi_E = \varphi_E^{(\Delta)} \circ \varphi_E$, où $\delta : \Delta \to \Delta \times \Delta$ est l’application diagonale. Montrer que l’on définit ainsi une bijection de l’ensemble des graduations sur $E$ de type $\Delta$, sur l’ensemble des homomorphismes de $E$ dans $E^{(\Delta)}$ vérifiant les conditions (1) et (2). b) Soient $E, F$ deux $\mathbf{Z}$-modules gradués de type $\Delta$. Pour qu’un homomorphisme $f : E \to F$ soit gradué de degré 0, il faut et il suffit que l’on ait $\varphi_F \circ f = f^{(\Delta)} \circ \varphi_E$. Pour qu’un sous-module $E'$ de $E$ soit gradué, il faut et il suffit que $\varphi_E(E') \subset {E'}^{(\Delta)}$. c) Soit $A$ un anneau; on munit $A^{(\Delta)} = A \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}^{(\Delta)}$ de la structure d’anneau telle que $(a \otimes X^\sigma)(b \otimes X^\tau) = (ab) \otimes X^{\sigma + \tau}$. Soit $(A_\sigma)_{\sigma \in \Delta}$ une graduation du groupe additif $A$; pour que cette graduation soit compatible avec la structure d’anneau de $A$ et que l’on ait $1 \in A_0$, il faut et il suffit que $\varphi_A : A \to A^{(\Delta)}$ soit un homomorphisme d’anneaux. Énoncer et démontrer un résultat analogue pour les $A$-modules gradués.