Bài tập 1, § 11

Cho $\Delta$ là một monoid giao hoán, được viết theo lối cộng tính, với phần tử đơn vị được ký hiệu bởi 0. Ký hiệu $\mathbf{Z}^{(\Delta)}$ là đại số của $\Delta$ trên $\mathbf{Z}$ (III, § 2, no. 6), tức là một vành giao hoán, là một $\mathbf{Z}$-môđun tự do với một cơ sở $(X^\sigma)_{\sigma \in \Delta}$ và phép nhân $(aX^\sigma)(bX^\tau) = abX^{\sigma + \tau}$. Với mọi $\mathbf{Z}$-môđun, ta viết $E^{(\Delta)} = E \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}^{(\Delta)}$, do đó mọi phần tử của $E^{(\Delta)}$ được viết duy nhất dưới dạng $\sum_{\sigma \in \Delta} z_\sigma \otimes X^\sigma$, với $z_\sigma \in E$, họ $(z_\sigma)$ có giá hữu hạn. Với mọi đồng cấu $\mathbf{Z}$-môđun $f : E \to E'$, ký hiệu $f^{(\Delta)}$ là đồng cấu $\mathbf{Z}^{(\Delta)}$-môđun $f \otimes 1 : E^{(\Delta)} \to {E'}^{(\Delta)}$. Tương tự, nếu $\Delta'$ là một monoid cộng tính khác với phần tử đơn vị được ký hiệu bởi 0 và nếu $\alpha : \Delta \to \Delta'$ là một đồng cấu monoid, thì $\alpha(E)$ ký hiệu đồng cấu $E^{(\Delta)} \to E^{(\Delta')}$ sao cho $\alpha(E)(z_\sigma \otimes X^\sigma) = z_\sigma \otimes X^{\alpha(\sigma)}$. Ta đồng nhất $(E^{(\Delta)})^{(\Delta')}$ với $E^{(\Delta \times \Delta')}$ bằng cách gán cho $\sum_{\sigma' \in \Delta'} \left( \sum_{\sigma \in \Delta} z_{\sigma, \sigma'} \otimes X^\sigma \right) \otimes X^{\sigma'}$ phần tử $\sum_{\sigma, \sigma'} z_{\sigma, \sigma'} \otimes X^{(\sigma, \sigma')}$. Sau hết, ký hiệu $\varepsilon(E)$ là đồng cấu $E^{(\Delta)} \to E$ ánh xạ $\sum_\sigma z_\sigma \otimes X^\sigma$ thành $\sum_\sigma z_\sigma$.

(a) Cho $E$ là một $\mathbf{Z}$-môđun, $(E_\sigma)_{\sigma \in \Delta}$ là một phân bậc trên $E$ kiểu $\Delta$ và, với mọi $\sigma \in \Delta$, ký hiệu $p_\sigma$ là phép chiếu $E \to E_\sigma$ tương ứng với phân tích của $E$ thành tổng trực tiếp của các $E_\sigma$. Với mọi $x \in E$, đặt $\phi_E(x) = \sum_{\sigma \in \Delta} p_\sigma(x) \otimes X^\sigma$. Chứng minh rằng đồng cấu $\phi_E : E \to E^{(\Delta)}$ được xác định như vậy có các tính chất sau:

(1)

(2) trong đó $\delta : \Delta \to \Delta \times \Delta$ là ánh xạ đường chéo.

Chứng minh rằng theo đó xác định được một song ánh từ tập hợp các phân bậc trên $E$ kiểu $\Delta$ lên tập hợp các đồng cấu từ $E$ vào $E^{(\Delta)}$ thỏa mãn các điều kiện (1) và (2).

(b) Cho $E, F$ là hai $\mathbf{Z}$-môđun phân bậc kiểu $\Delta$. Để một đồng cấu $f : E \to F$ là phân bậc bậc 0, điều kiện cần và đủ là $\phi_F \circ f = f^{(\Delta)} \circ \phi_E$. Để một môđun con $E'$ của $E$ là phân bậc, điều kiện cần và đủ là $\phi_E(E') \subset {E'}^{(\Delta)}$.

(c) Cho $A$ là một vành; $A^{(\Delta)} = A \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}^{(\Delta)}$ được cho một cấu trúc vành sao cho $(a \otimes X^\sigma)(b \otimes X^\tau) = (ab) \otimes X^{\sigma + \tau}$. Cho $(A_\sigma)_{\sigma \in \Delta}$ là một phân bậc của nhóm cộng $A$; để phân bậc này tương thích với cấu trúc vành trên $A$ và $1 \in A_0$, điều kiện cần và đủ là $\phi_A : A \to A^{(\Delta)}$ là một đồng cấu vành. Hãy phát biểu và chứng minh một kết quả tương tự đối với các $A$-môđun phân bậc.