Bourbaki

Exercice 1, § 3

Algèbre, II, p. 189

Soient A un anneau, E un A-module à droite, F un A-module à gauche. Soit f une fonction définie dans l’ensemble S de toutes les suites finies ((x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn))((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)) (n arbitraire) d’éléments de E × F, à valeurs dans un ensemble G et telle que: 1° f((x1,y1),…,(xn,yn))=f((xσ(1),yσ(1)),…,(xσ(n),yσ(n)))f((x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)) = f((x_{\sigma(1)}, y_{\sigma(1)}), \ldots, (x_{\sigma(n)}, y_{\sigma(n)})) pour toute permutation σ∈Sn\sigma \in \mathfrak{S}_n; 2° f((x1+x1′,y1),(x2,y2),…,(xn,yn))=f((x1,y1),(x1′,y1),(x2,y2),…,(xn,yn));f((x_1 + x'_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)) = f((x_1, y_1), (x'_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)); 3° f((x1,y1+y1′),(x2,y2),…,(xn,yn))=f((x1,y1),(x1,y1′),(x2,y2)…,(xn,yn));f((x_1, y_1 + y'_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)) = f((x_1, y_1), (x_1, y'_1), (x_2, y_2) \ldots, (x_n, y_n)); 4° f((x1λ,y1),…,(xn,yn))=f((x1,λy1),…,(xn,yn))f((x_1 \lambda, y_1), \ldots, (x_n, y_n)) = f((x_1, \lambda y_1), \ldots, (x_n, y_n)) pour tout λ∈A\lambda \in A. Montrer qu’il existe une application et une seule g de E⊗AFE \otimes_A F dans G telle que

f((x1,y1),…,(xn,yn))=g(∑i=1nxi⊗yi).(Remarquer que si l’on a ∑ixi⊗yi=∑jxj′⊗yj′, la diffeˊrence ∑i(xi,yi)−∑j(xj′,yj′) dans le Z-module Z(E×F) est combinaison lineˊaire aˋ coefficients entiers d’eˊleˊments de la forme (2) de II, p. 50.) f((x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)) = g\left( \sum_{i=1}^n x_i \otimes y_i \right). \text{(Remarquer que si l’on a } \sum_i x_i \otimes y_i = \sum_j x'_j \otimes y'_j, \text{ la différence } \sum_i (x_i, y_i) - \sum_j (x'_j, y'_j) \text{ dans le } \mathbf{Z}\text{-module } \mathbf{Z}^{(E \times F)} \text{ est combinaison linéaire à coefficients entiers d’éléments de la forme (2) de II, p. 50.)}
Solution

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Transcrit du volume imprimé. Non traduit.