Bài tập 1, § 3

Đại số, II

Cho $A$ là một vành, $E$ là một môđun phải trên $A$ và $F$ là một môđun trái trên $A$ . Cho $f$ là một hàm xác định trên tập hợp $S$ gồm mọi dãy hữu hạn

((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)) \quad (n \text{ tùy ý})

của các phần tử của $E \times F$ với giá trị trong một tập hợp $G$ và sao cho:

(1)

f((x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)) = f((x_{\sigma(1)}, y_{\sigma(1)}), \ldots, (x_{\sigma(n)}, y_{\sigma(n)}))

với mọi phép hoán vị

\sigma \in \mathfrak{S}_n

;

(2)

f((x_1 + x'_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)) \\ = f((x_1, y_1), (x'_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n));

(3)

f((x_1, y_1 + y'_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)) \\ = f((x_1, y_1), (x_1, y'_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n));

(4)

f((x_1 \lambda, y_1), \ldots, (x_n, y_n)) = f((x_1, \lambda y_1), \ldots, (x_n, y_n))

với mọi

\lambda \in A

Hãy chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một ánh xạ $g$ từ $E \otimes_A F$ vào $G$ sao cho $f((x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)) = g \left( \sum_{i=1}^n x_i \otimes y_i \right)$ . (Chú ý rằng nếu

\sum_i x_i \otimes y_i = \sum_j x'_j \otimes y'_j,

thì hiệu $\sum_i (x_i, y_i) - \sum_j (x'_j, y'_j)$ trong $\mathbf{Z}$ -môđun $\mathbf{Z}^{(E \times F)}$ là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số nguyên của các phần tử dạng (2) của no. 1.)

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.