Exercice 3, § 3

a) Soient $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille de A-modules à droite, F un A-module à gauche. Montrer que si F est de type fini, l’application canonique $(\prod_{\lambda \in L} E_\lambda) \otimes_A F \to \prod_{\lambda \in L} (E_\lambda \otimes_A F)$ est surjective. b) Donner un exemple d’anneau commutatif A et d’un idéal m de A tels que l’application canonique $A^\mathbf{N} \otimes_A (A/m) \to (A/m)^\mathbf{N}$ ne soit pas injective (cf. II, p. 178, exerc. 2 b)). c) Donner un exemple d’anneau commutatif A tel que l’application canonique $A^\mathbf{N} \otimes_A A^\mathbf{N} \to A^{\mathbf{N} \times \mathbf{N}}$ ne soit pas surjective (observer que pour n donné, l’image de $\mathbf{N}$ par une application de la forme $m \mapsto \sum_{i=1}^r u_i(m)v_i(n)$ où les $u_i$ et $v_i$ appartiennent à $A^\mathbf{N}$, engendre un idéal de type fini de A). d) Déduire de b) et c) un exemple où l’homomorphisme canonique (22) (II, p. 61) n’est ni injectif ni surjectif.