Bài tập 3, § 3

(a) Cho $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ các $A$-môđun phải và $F$ là một $A$-môđun trái. Chứng minh rằng nếu $F$ sinh hữu hạn, thì ánh xạ chính tắc

là toàn ánh. (b) Cho một ví dụ về một vành giao hoán $A$ và một iđêan $m$ của $A$ sao cho ánh xạ chính tắc $A^N \otimes_A (A/m) \to (A/m)^N$ không đơn ánh (x. § 1, Bài tập 2 (b)). (c) Cho một ví dụ về một vành giao hoán $A$ sao cho ánh xạ chính tắc $A^N \otimes_A A^N \to A^{N \times N}$ không toàn ánh (nhận xét rằng với $n$ cho trước, ảnh của $N$ dưới một ánh xạ dạng $m \mapsto \sum_{i=1}^r u_i(m)v_i(n)$, trong đó các $u_i$ và $v_i$ thuộc $A^N$, sinh ra một iđêan sinh hữu hạn của $A$). (d) Suy ra từ (b) và (c) một ví dụ trong đó đồng cấu chính tắc (22) (no. 7) không đơn ánh cũng không toàn ánh.