Exercice 9, § 4

Algèbre, II, p. 191

Soient A un anneau, C son centre, E un A-module à droite, F un A-module à gauche, E*, F* les duals respectifs de E et F. On dit qu'une application additive f de E* ⊗_C F* dans A est doublement linéaire si l'on a f(aw) = af(w) et f(wa) = f(w)a pour tout w ∈ E* ⊗_C F* et tout a ∈ A. Montrer qu'il existe une application C-linéaire φ et une seule de E ⊗_A F dans le C-module L des applications doublement linéaires de E* ⊗_C F* dans A, telle que

(\varphi(x \otimes y))(x^* \otimes y^*) = ⟨x^*, x⟩⟨y, y^*⟩

quels que soient x ∈ E, y ∈ F, x^* ∈ E*, y^* ∈ F*. Si E et F sont des modules projectifs de type fini, φ est bijective.

Solution

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