Bài tập 9, § 4

Cho A là một vành, C là tâm của nó, E là một A-môđun phải, F là một A-môđun trái, và E*, F* là các đối ngẫu tương ứng của E và F. Một ánh xạ cộng tính $f$ của $E^* \otimes_C F^*$ vào A được gọi là song tuyến tính nếu $f(aw) = af(w)$ và $f(wa) = f(w)a$ với mọi $w \in E^* \otimes_C F^*$ và mọi $a \in A$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một và chỉ một ánh xạ C-tuyến tính $\phi$ của $E \otimes_A F$ vào C-môđun L các ánh xạ song tuyến tính của $E^* \otimes_C F^*$ vào A sao cho

với mọi $x \in E, y \in F, x^* \in E^*, y^* \in F^*$. Nếu E và F là các môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, thì $\phi$ là song ánh.