Exercice 10, § 7

Soit E un espace vectoriel sur un corps K. Montrer que tout endomorphisme u de E est un automorphisme ou peut s’écrire u = v - w, où v et w sont des automorphismes de E. (Observer qu’on peut toujours remplacer u par s_1 \circ u \circ s_2, où s_1 et s_2 sont deux automorphismes de E. Distinguer deux cas, suivant que \dim(\mathrm{Ker}(u)) \leqslant \dim(\mathrm{Coker}(u)), ou \dim(\mathrm{Ker}(u)) > \dim(\mathrm{Coker}(u)); lorsque \mathrm{rg}(u) est fini, on est toujours dans le premier cas. Lorsque \dim(\mathrm{Ker}(u)) \leqslant \dim(\mathrm{Coker}(u)), on peut se ramener au cas où \mathrm{Ker}(u) \cap \mathrm{Im}(u) = \{0\}; si \dim(\mathrm{Ker}(u)) = \dim(\mathrm{Coker}(u)), on peut supposer en outre que \mathrm{Im}(u) + \mathrm{Ker}(u) = E et appliquer alors l’exerc. 9 c). Si \dim(\mathrm{Ker}(u)) < \dim(\mathrm{Coker}(u)), il y a un supplémentaire dans E de \mathrm{Ker}(u) de la forme W \oplus \mathrm{Im}(u) avec \dim(W) = \dim(\mathrm{Im}(u)) = \dim(E); appliquer la remarque du début avec s_1(u(\mathrm{Im}(u))) = \mathrm{Im}(u), et utiliser les exerc. 9 a) et c). Lorsque \dim(\mathrm{Ker}(u)) > \dim(\mathrm{Coker}(u)), on peut se ramener au cas où \mathrm{Ker}(u) \subset \mathrm{Im}(u); prendre cette fois s_1(\mathrm{Ker}(u)) = \overline{u}^{-1}(\mathrm{Ker}(u)), et utiliser les résultats des cas précédents et l’exerc. 9.)