Bài tập 10, § 7

Cho E là một không gian vectơ trên một trường K. Chứng minh rằng mọi tự đồng cấu u của E là một tự đẳng cấu hoặc có thể viết dưới dạng $u = v - w$, trong đó v và w là các tự đẳng cấu của E. (Lưu ý rằng u luôn có thể được thay thế bởi $s_1 \circ u \circ s_2$, trong đó $s_1$ và $s_2$ là hai tự đẳng cấu của E. Phân biệt hai trường hợp, tùy theo $\dim(\mathrm{Ker}(u)) \leq \dim(\mathrm{Coker}(u))$ hay $\dim(\mathrm{Ker}(u)) > \dim(\mathrm{Coker}(u))$; khi $\mathrm{rg}(u)$ là hữu hạn, thì trường hợp thứ nhất luôn xảy ra. Khi

có thể quy về trường hợp $\mathrm{Ker}(u) \cap \mathrm{Im}(u) = \{0\}$; nếu cũng có thể giả sử rằng $\mathrm{Im}(u) + \mathrm{Ker}(u) = E$ và sau đó áp dụng Bài tập 9 (c). Nếu $\dim(\mathrm{Ker}(u)) < \dim(\mathrm{Coker}(u))$, tồn tại một không gian con phụ trong E của $\mathrm{Ker}(u)$ có dạng $W \oplus \mathrm{Im}(u)$ với $\dim(W) = \dim(\mathrm{Im}(u)) = \dim(E)$; áp dụng nhận xét ở đầu với $s_1(u(\mathrm{Im}(u))) = \mathrm{Im}(u)$ và sử dụng Bài tập 9 (a) và (c). Khi $\dim(\mathrm{Ker}(u)) > \dim(\mathrm{Coker}(u))$, có thể quy về trường hợp $\mathrm{Ker}(u) \subset \mathrm{Im}(u)$; lần này lấy $s_1(\mathrm{Ker}(u)) = u^{-1}(\mathrm{Ker}(u))$ và sử dụng các kết quả của các trường hợp trước và Bài tập 9.)