Exercice 12, § 7

Algèbre, II, p. 194

Soient E, F deux espaces vectoriels, u et v deux applications linéaires de E dans F. a) Montrer que l’on a les inégalités

\mathrm{rg}(v) \leqslant \mathrm{rg}(u + v) + \mathrm{rg}(u)

\mathrm{rg}(u + v) \leqslant \inf(\dim(E), \dim(F), \mathrm{rg}(u) + \mathrm{rg}(v)).

Si E et F sont de dimensions finies, montrer que \mathrm{rg}(u + v) peut prendre toute valeur entière satisfaisant aux inégalités

|\mathrm{rg}(u) - \mathrm{rg}(v)| \leqslant \mathrm{rg}(u + v) \leqslant \inf(\dim(E), \dim(F), \mathrm{rg}(u) + \mathrm{rg}(v)).

b) Montrer que l’on a

\dim(\mathrm{Ker}(u + v)) \leqslant \dim(\mathrm{Ker}(u) \cap \mathrm{Ker}(v)) + \dim(\mathrm{Im}(u) \cap \mathrm{Im}(v)).

c) Montrer que l’on a

\dim(\mathrm{Coker}(u + v)) \leqslant \dim(\mathrm{Coker}(u)) + \mathrm{rg}(v).

(Si V est un supplémentaire de \mathrm{Ker}(v) dans E, remarquer que l’on a

u(\mathrm{Ker}(v)) \subset \mathrm{Im}(u + v) \quad \text{et} \quad \dim(u(V)) \leqslant \mathrm{rg}(v).

)

Solution

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