Cho E, F là hai không gian vectơ và u,v là hai ánh xạ tuyến tính từ E vào F. (a) Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau đúng:
rg(v)rg(u+v)≤rg(u+v)+rg(u)≤inf(dim(E),dim(F),rg(u)+rg(v)). Nếu E và F hữu hạn chiều, chứng minh rằng
rg(u+v) có thể nhận mọi giá trị số nguyên thỏa mãn các bất đẳng thức
∣rg(u)−rg(v)∣≤rg(u+v)≤inf(dim(E),dim(F),rg(u)+rg(v)). (b) Chứng minh rằng
dim(Ker(u+v))≤dim(Ker(u)∩Ker(v))+dim(Im(u)∩Im(v)). (c) Chứng minh rằng
dim(Coker(u+v))≤dim(Coker(u))+rg(v). (Nếu V là một không gian con bổ sung của
Ker(v) trong E, chú ý rằng
u(Ker(v))⊂Im(u+v)vaˋdim(u(V))≤rg(v). )