Exercice 13, § 7

Algèbre, II, p. 194

Soient E, F, G trois espaces vectoriels, u : E \to F, v : F \to G deux applications linéaires. a) Montrer qu’il existe une décomposition de E en somme directe de \mathrm{Ker}(u) et de deux sous-espaces M, N, tels que \mathrm{Ker}(v \circ u) = M \oplus \mathrm{Ker}(u) et \mathrm{Im}(v \circ u) = v(u(N)). b) On a \dim(\mathrm{Ker}(u)) \leqslant \dim(\mathrm{Ker}(v \circ u)) \leqslant \dim(\mathrm{Ker}(u)) + \dim(\mathrm{Ker}(v)); si \mathrm{Ker}(u) et

Ker(v) sont de dimensions finies, montrer que dim(Ker(v o u)) peut prendre toute valeur entière satisfaisant aux inégalités précédentes. c) On a les égalités

\begin{align*} \operatorname{rg}(u) &= \operatorname{rg}(v \circ u) + \dim(\operatorname{Im}(u) \cap \operatorname{Ker}(v)) \\ \operatorname{rg}(v) &= \operatorname{rg}(v \circ u) + \operatorname{codim}_F(\operatorname{Im}(u) + \operatorname{Ker}(v)). \end{align*}

Si F est de dimension finie n, montrer que rg(v o u) peut prendre toute valeur entière vérifiant les inégalités

\sup(0, \operatorname{rg}(u) + \operatorname{rg}(v) - n) \leq \operatorname{rg}(v \circ u) \leq \inf(\operatorname{rg}(u), \operatorname{rg}(v)).

Solution

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