Bài tập 13, § 7

Cho E, F, G là ba không gian vectơ và $u : E \to F, v : F \to G$ là hai ánh xạ tuyến tính. (a) Chứng minh rằng tồn tại một phân tích của E thành tổng trực tiếp của $\mathrm{Ker}(u)$ và hai không gian con M, N sao cho $\mathrm{Ker}(v \circ u) = M \oplus \mathrm{Ker}(u)$ và

(b) $\dim(\mathrm{Ker}(u)) \leq \dim(\mathrm{Ker}(v \circ u)) \leq \dim(\mathrm{Ker}(u)) + \dim(\mathrm{Ker}(v));$ nếu $\mathrm{Ker}(u)$ và $\mathrm{Ker}(v)$ là hữu hạn chiều, hãy chứng minh rằng $\dim(\mathrm{Ker}(v \circ u))$ có thể nhận mọi giá trị nguyên thỏa mãn các bất đẳng thức trên. (c) Các đẳng thức sau đúng: Nếu F là hữu hạn chiều, hãy chứng minh rằng $\mathrm{rg}(v \circ u)$ có thể nhận mọi giá trị nguyên thỏa mãn bất đẳng thức