Exercice 15, § 7

Soient E, F deux espaces vectoriels sur un corps K, $u : E \to F$ une application linéaire. a) Les conditions suivantes sont équivalentes: 1° Ker(u) est de dimension finie; 2° il existe une application linéaire v de F dans E telle que $v \circ u = 1_E + w$, où w est un endomorphisme de E de rang fini; 3° pour tout espace vectoriel G sur K et toute application linéaire $f : G \to E$, la relation $\operatorname{rg}(u \circ f) < +\infty$ entraîne $\operatorname{rg}(f) < +\infty$. b) Les conditions suivantes sont équivalentes: 1° Coker(u) est de dimension finie; 2° il existe une application linéaire v de F dans E telle que $u \circ v = 1_F + w$, où w est un endomorphisme de F de rang fini; 3° pour tout espace vectoriel G sur K et toute application linéaire $g : F \to G$, la relation $\operatorname{rg}(g \circ u) < +\infty$ entraîne $\operatorname{rg}(g) < +\infty$.