Bài tập 15, § 7

Cho E, F là hai không gian vectơ trên một trường K và $u : E \to F$ là một ánh xạ tuyến tính.

(a) Các điều kiện sau là tương đương: (1) $\operatorname{Ker}(u)$ hữu hạn chiều; (2) tồn tại một ánh xạ tuyến tính $v$ từ F vào E sao cho $v \circ u = l_E + w$, trong đó $w$ là một tự đồng cấu của E có hạng hữu hạn; (3) với mọi không gian vectơ G trên K và mọi ánh xạ tuyến tính $f : G \to E$, quan hệ $\operatorname{rg}(u \circ f) < +\infty$ kéo theo $\operatorname{rg}(f) < +\infty$.

(b) Các điều kiện sau là tương đương: (1) $\operatorname{Coker}(u)$ hữu hạn chiều; (2) tồn tại một ánh xạ tuyến tính $v$ từ F vào E sao cho $u \circ v = l_F + w$, trong đó $w$ là một tự đồng cấu của F có hạng hữu hạn; (3) với mọi không gian vectơ G trên K và mọi ánh xạ tuyến tính $g : F \to G$, quan hệ $\operatorname{rg}(g \circ u) < +\infty$ kéo theo $\operatorname{rg}(g) < +\infty$.