Exercice 16, § 7

Soient E, F deux espaces vectoriels sur K, $u : E \to F$ une application linéaire. On dit que u est d’indice fini si Ker(u) et Coker(u) sont de dimensions finies et on appelle alors indice de u le nombre $d(u) = \dim(\operatorname{Ker}(u)) - \dim(\operatorname{Coker}(u))$. Soient G un troisième espace vectoriel sur K, et $v : F \to G$ une application linéaire. Montrer que si deux des trois applications linéaires u, v, v o u sont d’indice fini, il en est de même de la troisième et l’on a $d(v \circ u) = d(u) + d(v)$ (utiliser l’exerc. 13 a)).