Bài tập 16, § 7

Cho E, F là hai không gian vectơ trên K và $u : E \to F$ là một ánh xạ tuyến tính. $u$ được gọi là có chỉ số hữu hạn nếu $\operatorname{Ker}(u)$ và $\operatorname{Coker}(u)$ là hữu hạn chiều và khi đó số $d(u) = \dim(\operatorname{Ker}(u)) - \dim(\operatorname{Coker}(u))$ được gọi là chỉ số của $u$.

Cho G là một không gian vectơ thứ ba trên K và $v : F \to G$ là một ánh xạ tuyến tính. Hãy chứng minh rằng nếu hai trong ba ánh xạ tuyến tính $u, v, v \circ u$ có chỉ số hữu hạn, thì ánh xạ thứ ba cũng vậy và $d(v \circ u) = d(u) + d(v)$ (dùng Bài tập 13 (a)).