Exercice 36, § 7

a) Soient $K_0$ un corps commutatif, $K = K_0(X)$ le corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur $K_0$ (A, IV). On définit sur $K$ une structure de $(K, K)$-bimodule, de la manière suivante: le produit $t.u$ d’un élément $u \in K$ par un opérateur à gauche $t \in K$ est la fraction rationnelle $t(X)u(X)$; le produit $u.t$ de $u$ par un opérateur à droite $t \in K$ est la fraction rationnelle $u(X)t(X^2)$; la structure de $K$-espace vectoriel à gauche (resp. à droite) ainsi définie sur $K$ est alors de dimension 1 (resp. de dimension 2). En déduire des exemples de $(K, K)$-bimodules tels que les dimensions des deux structures d’espace vectoriel d’un tel bimodule soient des entiers arbitraires. b) Déduire de a) un exemple de $(K, K)$-bimodule $E$ dont les deux structures d’espace vectoriel aient même dimension, et tel qu’il existe un sous-bimodule $F$ de $E$, dont les deux structures d’espace vectoriel n’aient pas même dimension.*